Задача международного конкурса «Кенгуру»: поиск четырёхзначного числа, равного сумме его цифр в степени самих себя
The Guardian опубликовала решение задачи международного математического конкурса «Кенгуру», в котором ежегодно участвуют более семи миллионов детей. Ответ — число 3435, поэтому первая цифра равна 3.
Британская газета The Guardian 9 ноября опубликовала решение задачи из международного математического конкурса «Кенгуру», где нужно выбирать ответ из предложенных вариантов. Ежегодно в нём участвуют более семи миллионов детей. Задача вышла в рубрике головоломок, которая появляется каждый второй понедельник.
Условие
Требовалось найти четырёхзначное число abcd, равное a^a + b^b + c^c + d^d, то есть сумме цифр, каждая из которых возведена в степень, равную самой себе. Нужно было определить цифру a из вариантов 2, 3, 4, 5 или 6. Цифры могут повторяться. В качестве дополнительного задания предлагалось найти b, c и d.
Решение
Автор сначала вычислил степени: 1^1 = 1, 2^2 = 4, 3^3 = 27, 4^4 = 256 и 5^5 = 3125. Поскольку 6^6 больше любого четырёхзначного числа, ни одна цифра не может быть равна 6 или больше.
Далее он показал, что хотя бы одна цифра должна быть пятёркой. Если бы все цифры были не больше 4, сумма не превысила бы 1024, и равенство не выполнялось бы. Две или три пятёрки дали бы первую цифру 6 или 9, что недопустимо, а четыре пятёрки дают сумму, не совпадающую с 5555. Значит, пятёрка ровно одна, сумма меньше 4000, и a = 3.
Проверка остальных сочетаний оставляет единственное подходящее число: 3435 = 3^3 + 4^4 + 3^3 + 5^5. Следовательно, b = 4, c = 3 и d = 5.
В конце статьи сказано, что участие в «Кенгуру» в Великобритании оформляется через UKMT, а прежние задачи доступны в Мировом банке олимпиад — архиве почти из 100 000 задач международных соревнований.
